Hasta ahora, la integral ha sido nuestra herramienta para medir el espacio entre una sola curva y el suelo fijo del eje x. ¿Pero qué pasaría si el propio suelo estuviera en movimiento? En esta lección, trascendemos el eje y aprendemos a calcular el área de regiones atrapadas entre dos límites funcionales independientes, $f(x)$ y $g(x)$.
La geometría de las diferencias
Para hallar el área $A$ de una región $S$ limitada por $y = f(x)$ y $y = g(x)$ entre $x = a$ y $x = b$, utilizamos la misma lógica de suma de Riemann que sentó las bases del cálculo.
La extensión de Riemann
Dividimos la región en $n$ tiras verticales. Si $x_i^*$ es un punto de muestra en el $i$-ésimo intervalo, la altura del rectángulo aproximado no es solo $f(x_i^*)$, sino la diferencia entre las alturas de las curvas superior e inferior:
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
De la suma a la integración
Al aumentar el número de tiras hasta el infinito ($n \to \infty$), la suma de estas áreas rectangulares converge a la integral definida:
Fórmula clave:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
donde $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
Regla de la diferencia absoluta
¿Qué pasa si las curvas se cruzan? Si simplemente integramos $f-g$ mientras $g$ está realmente por encima de $f$, obtendremos un resultado negativo. Para asegurarnos de calcular siempre la magnitud del área, usamos el valor absoluto:
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 Teorema de la fórmula del área
Si $f$ y $g$ son funciones continuas y $f(x) \ge g(x)$ para todo $x$ en $[a, b]$, el área $A$ de la región limitada por $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$ y $x = b$ es:
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
Ejemplo 1: Exponencial frente a lineal
Encuentre el área acotada por encima por $y = e^x$, por debajo por $y = x$, desde $x = 0$ hasta $x = 1$.
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$